Bicicletas e triciclos

No jardim da cidade, no domingo passado, a Joana ficou encantada por encontrar várias bicicletas e triciclos.
Eram de vários tamanhos e cores, mas ao fazer uma contagem descobriu que havia um total de 12 rodas.

Quantas bicicletas é que a Joana encontrou? E quantos triciclos?

O bando de grous

Os grous, aves pernaltas que vivem habitualmente em regiões
pantanosas, quando voam em bando dispõem-se em triângulo.
Passa um bando. É impossível contá-los, porque voam rapidamente. Mas consegue-se contar a última fila: são 8.
Quantos grous tem o bando?

Números amigos e outros

Número perfeito é aquele cuja soma dos seus divisores próprios é igual ao próprio número.


Divisores próprios de um número são todos os divisores desse número excepto ele próprio.


Dizemos que dois números são amigos se cada um deles é igual a soma dos divisores próprios do outro.


Um exemplo de números amigos são 284 e 220, pois os divisores próprios de 220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110. Efectuando a soma destes números obtemos o resultado 284.




1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284


Os divisores próprios de 284 são 1, 2, 4, 71 e 142, efectuando a soma destes números obtemos o resultado 220.




1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220


A descoberta deste par de números é atribuída a Pitágoras.


Outros números amigos foram descobertos com o passar do tempo. Pierre Fermat anunciou em 1636 um novo par de números amigos formando por 17296 e 18416, mas na verdade tratou-se de uma redescoberta pois o árabe al-Banna (1256 – 1321) já havia encontrado este par de números no fim do século XIII.


Consideremos a soma dos quadrados do dígito de um dado número. Determinemos, sucessivamente, a soma dos quadrados dos dígitos que vamos obtendo. Se esse processo terminar em 1, então dizemos que o número é Feliz ("happy").


Por exemplo, 7 é um número feliz. Verifiquemos, determinando a soma dos quadrados dos dígitos.
Vejamos o que acontece com o 7:
7^2 =49
4^2+9^2=16+81=97
9^2+7^2=81+49=130
1^2+3^2+0^2=1+9+0=10
1^2+0^2=1+0=1

Jogo dos Divisores

http://illuminations.nctm.org/activitydetail.aspx?ID=12



Factor Game
Regras
- O jogador A escolhe um número do tabuleiro clicando nele. Observe que o número muda de cor.
- O jogador B clica em todos os factores próprios do número escolhido por A. Observe que estes tomam uma cor diferente.
- Os factores próprios de um número são todos os factores desse número diferentes dele próprio. Por exemplo, os factores próprios de 12 são 1, 2, 3, 4 e 6.
- Quando terminar clica em OK.
- O jogador B escolhe um novo número e o jogador A escolhe na sua vez, todos os factores do número escolhido por B que ainda não tenham sido coloridos. No final clica em OK
- O jogo continua com cada jogador, na sua vez, escolhendo um número e o adversário os factores disponíveis desse número.
- Se um dos jogadores escolher um número que já não tenha factores disponíveis, perde a sua vez de jogar e não obtém quaisquer pontos pela sua escolha.
- O jogo acaba quando já não existirem números com factores para colorir.
- Cada jogador soma os números que vai colorindo com a sua cor. Aquele que no fim tiver mais pontos é o vencedor.

Divisores de um número

Os divisores de um número natural são todos os números naturais que o dividem, sendo o resto da divisão zero, ou seja que o dividem num número inteiro de vezes.




Exemplo:

7 é divisor de 42 porque  42 = 7 x 6

7 não é divisor de 45
 
 
Os múltiplos de um número são exactamente os números que são divisíveis por esse número.

Múltiplos de um número

Os múltiplos de um número inteiro são todos os números que resultam da multiplicação desse número pelos números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....




Exemplo: Múltiplos de 6

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 x 0 = 0             


6 x 1 = 6


6 x 2 = 12


6 x 3 = 18


6 x 4 = 24


6 x 5 = 30


6 x 6 = 36
...


Assim são múltiplos de 6: 0, 6 , 12 , 18, 24, 30, 36 , ...




Qualquer número natural tem um número infinito de múltiplos.

Descobre os números primos

http://nautilus.fis.uc.pt/mn/primos/index.html

Decomposição em factores primos

Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais factores.
24 = 4 x 6
24 = 2 x 2 x 6
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3

No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os factores são números primos.

Então a factorização de 24 é 2 ^ 3 x 3.

Qualquer número composto pode ser decomposto em factores primos, ou seja, pode ser escrito com o produto de números primos.


Outro exemplo:
12 = 3 x 2 x 2

ou numa escrita mais abreviada, utilizando as potências:

12 = 3 x 2 ^ 2

A decomposição de qualquer número composto em factores primos é única, não há outra decomposição em factores primos que seja diferente!

Regra prática para a decomposição em factores:
Existe uma regra prática para decompôr um número. Acompanha, no exemplo, os passos dessa regra:
1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;
2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1.

A figura em baixo mostra a decomposição do número 630.

Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.

630 = 2 x 3 ^ 2 x 5 x 7.

Jogo dos Múltiplos e Divisores

http://www.rpedu.pintoricardo.com/jogos/Mult_Div/mult_divisores_2.html

Pensar rápido

Indica o menor número de três algarismos diferentes que é, simultaneamente, divisível por 4 e por 6.

Múltiplos e Divisores - Problemas

Múltiplos e Divisores - Desafios

Crivo de Erastótenes

Alguns números têm apenas dois divisores: o 1 e ele mesmo. Esses números são chamados números primos. Observa os números primos de 1 a 100 destacados (a azul) no crivo de Eratóstenes:

Labirinto dos múltiplos e divisores

Descobre o número em que se encontre o "tesouro" neste mapa, sabendo que só podes avançar para a casa seguinte se o número que lhe corresponde for múltiplo ou divisor do anterior.

Critérios de divisibilidade por 2,3, 5 e 10

Um número é divisível por 2 quando é par, ou seja, quando o algarismo das unidades é 0,2,4,6 ou 8.


Um número é divisível por 3 se a soma dos seus algarismos é múltiplo de 3.

Exemplo: 45 é divisível por 3 porque 4+5=9 e 9 é divisível por 3.
 

Um número é divisível por 5 quando o algarismo das unidades é 0 ou 5.
 
Um número é divisível por 10 quando o algarismo das unidades é 0.

Números primos .O que são?

Número primo é todo aquele que admite apenas dois divisores: o um e ele próprio.

O único número primo par é o 2.

O conjunto dos números primos é infinito.

Quando um número não é primo diz-se composto.

O 1 não é número primo nem número composto.

Será 17 um número primo? Ora, os divisores de 17 são apenas o 1 e o 17, logo ele é primo.

E relativamente ao 26 que podemos afirmar? Os divisores de 26 são, além de 1 e 26, o 2 e o 13, daí não ser primo( também poderíamos dizer que , como 26 é par não é primo, uma vez que o único número par primo é o 2).

EXEMPLO DE APLICAÇÃO

Considera o número de entrada deste prédio.
Será o número marcado na entrada do prédio um número primo?
Verifica...

Considera agora os números ímpares entre 20 e 70. Descobre os números primos.

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